[ICLR 2020] Convergence of FedAvg - (6)

논문 제목: On the Convergence of FedAvg on Non-IID Data

출처: https://arxiv.org/abs/1907.02189

 

 이번 포스트에서는 hyperparameter $K$와 $E$에 관한 이야기를 다룬 후, experiments를 살펴 볼 계획입니다. (이전 글 보기)

 

9. Hyperparameter $E$ 정하기

 

 $\text{Theorem 2, 3}$에서 확인하였듯이, partial device participation에서의 FedAvg는  다음을 만족합니다.

$$\mathbb{E} [F (W_T)] - F^* \leq \frac {\kappa} {\gamma + T - 1} \left( \frac {2(B+C)} {\mu} + \frac {\mu \gamma} {2} \mathbb{E} \left[ ||w_1 - w^*||^2 \right] \right)$$

$$B:= \sum_{k=1}^N p_k^2 \sigma_k^2 + 6L \Gamma + 8 (E - 1)^2 G^2$$

$$\begin{equation} C := \begin{cases}  \frac {4} {K} E^2 G^2 & \text{for Theorem 2}\\ \frac {N - K} {N - 1} \frac {4} {K} E^2 G^2 & \text{for Theorem 3} \end{cases} \end{equation}$$

 

$F$의 $\mu$-storng convexity에 의하여 $||w_0 - w^*||^2 \leq \frac {4} {\mu^2} G^2$이므로, FedAvg의 time complextity는 다음과 같습니다.

$$\mathcal{O} \left( \frac {\sum_{k=1}^N p_k^2 \sigma_k^2 + L \Gamma + (1 + \frac {1} {K}) E^2 G^2 + \gamma G^2} {\mu T} \right)$$

그리고, $T_\epsilon$을 $\epsilon$만큼의 정확도를 달성하기 위하여 요구되는 FedAvg의 step 수라고 정의할 때, $\gamma := max  \{ 8 \kappa, E \} = \mathcal{O} (\kappa + E)$임을 사용하면, 필요한 communication round의 수 $\frac {T_\epsilon} {E}$는 대략적으로  다음과 같습니다.

$$\frac {T_\epsilon} {E} \propto \left( 1 + \frac {1} {K} \right) EG^2 +  \frac {\sum_{k=1}^N p_k^2 \sigma_k^2 + L \Gamma + \kappa G^2} {E} + G^2$$

 즉, communication round의 수는 $E$에 대한 함수로 이해할 수 있는데, $E$가 증가함에 따라 초반에는 감소하다가 일정 지점 이후로는 증가하는 형태를 보입니다. 다시 말해, $\frac {T_\epsilon} {E}$에는 global minimum이 존재한다는 의미이며, $E$를 지나치게 크게, 혹은 지나치게 작게 잡는 것이 convergence에 방해된다는 의미이기도 합니다. 이는 직관적으로도 이해 가능한 부분인데, local에서 일정 수준을 넘어선 만큼 학습이 진행될 경우, local objective function $F_k$에 overfitting되기 때문입니다. 이러한 $F_k$들을 aggregation하면 $F^*$와 더욱 멀어질 수밖에 없을 것입니다. 반대로, $E$가 지나치게 작을 경우는 underfitting이 예상되기 때문에 이 역시 직관적으로 이해 가능한 부분입니다.

 한편, 선행 연구[1]에 의하여 IID case에서는 $E = \mathcal{O} (\sqrt{T})$로 지정하면 된다는 것이  증명된 상황입니다. 하지만 $\text{Theorem 1}$을 보면 알 수 있다시피, Non-IID case의 경우에는 $E$가 $\mathcal{\Omega} (\sqrt{T})$보다 커지면 FedAvg 알고리즘의 수렴성을 보장할 수 없습니다.

 

10. Hyperparameter $K$ 정하기

 

 동일한 선행 연구[1]에 의하여 IID case의 경우 $K$를 키울수록 convergence rate가 향상된다는 것이 증명되었지만, 이 역시 Non-IID case에는 적용되기 어렵습니다. $\text{Theorem 2, 3}$을 보면 알 수 있듯이, 수렴성에 $K$가 영향을 줄 수 있는 부분은 기껏해야 $C$ term 정도인데, 이 $C$는 $\frac {T_\epsilon} {E}$에서 $\mathcal{O} \left( \frac {EG^2} {K} \right)$ 정도이므로 수렴성에 직접적인 영향을 주기 어렵습니다. 즉, $K$의 영향력은 한정적이며, 차라리 straggler가 많은 상황에서도 정상적으로 학습이 진행될 수 있도록 client의 participation ratio $\frac {K} {N}$를 최대한 작게 (즉, $K$를 최대한 작게) 잡는 것이 현실에 더욱 부합한다는 것이 저자들의 주장입니다.

 

11. Experiments

 

 해당 논문의 실험 결과를 바탕으로, 우리는 앞서 언급한 hyperparameter $E$, $K$를 정하는 기준이 실제로도 적용되는 것인지 확인하여야 합니다. 그리고 다양한 $\text{Scheme}$ 중 실제로 $\text{Scheme I}$이 제일 뛰어난지, $\text{Scheme T}$가 $\text{I}$을 대체하기에 충분한지에 관해서도 확인하여야 합니다.

 

(1) Model과 Dataset 구성

 model은 $\lambda = 1e-4$의 weight decay를 가진 logistic regression을 사용하였고, local solver로는 SGD를 사용하였습니다. client의 수는 $N = 100$개로 가정하였고, dataset은 FedAvg에서부터 등장한, client 당 2개의 label에 해당하는 data만 가지고 있는 distributed MNIST와 FedProx에서 정의하였던 Synthetic $(\alpha, \beta)$을 사용하였습니다. distributed MNIST는 다시 두 가지로 구분되는데, 하나는 data의 수가 고르게 구성되어 있는 MNIST balanced, 다른 하나는 기존 논문들과 동일하게 power law에 따라 unbalanced하게 data가 분포되어 있는 MNIST unbalanced입니다. Synthetic의 경우 $(0, 0)$와 $(1, 1)$을 dataset으로 사용하였습니다.

 

(2) Hyperparameter $E$와 $K$

 왼쪽의 표를 보면, 다른 dataset들은 모두 $E$가 커짐에 따라 $\frac {T_\epsilon} {E}$가 감소하다가 증가하는, 즉, global minimum을 가지는 모습을 보이고 있고, 이는 앞서 우리가 분석한 바와 정확히 일치하는 부분입니다. 하지만 data 갯수가 고르게 구성되어 있는 MNIST balanced dataset의 경우 $E$가 커질수록 $\frac {T_\epsilon} {E}$가 감소한다는 것을 확인할 수 있는데, 아쉽게도 해당 논문은 이에 관한 충분한 설명을 해주지 못하고 있습니다. (물론, balanced dataset이 현실에서 존재하기는 어려우므로, 크게 문제가 되는 부분은 아닐 것입니다.)

 다음으로, 오른쪽의 표를 보면 $K$의 크기가 convergence에 별다른 영향을 주지 못하는 모습을 확인할 수 있습니다. (해당 그래프는 Synthetic $(0, 0)$에 대한 학습 결과이고, 다른 dataset에 대해서도 비슷한 결과가 나왔다고 저자들은 이야기하고 있습니다.) 물론, $K$가 상당히 크다면 수렴 속도에 영향을 미칠 수 있겠지만, 그 정도가 그렇게 크지도 않을 뿐더러, $K$의 크기와 수렴 속도가 비례하지도 않는 상황입니다. 따라서 저자들의 주장대로 $K$를 작게 잡아도 크게 문제가 없다는 것을 알 수 있습니다.

 

(3) $\text{Scheme}$ 간 비교

 왼쪽 그래프는 MNIST balanced dataset을, 오른쪽 그래프는 MNIST unbalanced dataset을 학습한 결과입니다. balanced case의 경우 $\text{Scheme II}$와 $\text{T}$가 동일하기 때문에, 왼쪽 그래프에는 $\text{Scheme T}$가 표기되지 않았습니다. 그리고 $\text{Original}$은 FedAvg 논문에서 제시하였던 Averaging 방법입니다.

 balanced case를 보면, averaging 방법에 상관 없이 안정적으로 수렴하고 있습니다. 다만,  $\text{Original}$에 비해 $\text{Scheme I, II}$가 더욱 빠른 속도로 수렴한다는 점은 확인할 수 있습니다. 한편, unbalanced case를 보면, balanced를 가정하는 $\text{Scheme II}$가 정상적으로 수렴하지 못하고 있습니다. $\text{Scheme I}$이 예상대로 가장 빠른 수렴 속도를 보여주지만, 앞서 언급하였듯이 straggler를 고려하였을 때 $\text{Scheme I}$를 적용하는 데에는 현실적인 어려움이 존재합니다. 비록 $\text{Scheme I}$보다는 수렴 속도가 비교적 느리지만, $\text{Scheme T}$ 역시 안정적으로 학습이 진행된다는 것을 확인할 수 있고, 둘 간의 차이가 그렇게 크지 않으므로 $\text{Scheme T}$가 제일 현실적인 Averaging 방법이 될 것이라는 점을 해당 실험을 통해 다시 한 번 확인할 수 있습니다. 아래는 각각 Synthetic $(0, 0)$과 $(1, 1)$을 학습한 결과인데, 지금까지 이야기한 바와 일맥상통한 내용을 담고 있습니다.

 

 다음 포스트에서는 해당 논문의 또 다른 topic인 decaying learning rate의 필요성에 관하여 이야기하도록 하겠습니다.

 

 

 

참고문헌

[1] [ICLR 2019] https://arxiv.org/abs/1805.09767